Разлики - Што е тоа? Како да најдете на диференцијални на функција?

Заедно со деривати нивните функции разлики - тоа некои од основните концепти на диференцијалната анализа, главниот дел на математичката анализа. Како неразделно поврзани, и двете од нив неколку векови се користи за решавање на речиси сите проблеми што се појавија во текот на научни и технички активности.

Појавата на концептот на диференцијални

За прв пат јасно стави до знаење дека таквата диференцијал, еден од основачите (заедно со Isaakom Nyutonom) диференцијална анализа познатиот германски математичар Gotfrid Vilgelm Leybnits. Пред тоа математичари 17 век. користи многу и нејасна идеја на некои бескрајно "неподелена" на која било позната функција, што претставува многу мал константна вредност но не е еднаква на нула, под кои вредности на функцијата не може да биде едноставно. Значи тоа беше само еден чекор кон воведувањето на поими на бесконечно зголемување од функција аргументи и нивните зголемувања на функции кои може да се изрази во смисла на деривати на вторите. И овој чекор е донесена речиси истовремено над два големи научници.

Врз основа на потребата за решавање на итни практични механика проблеми со кои се соочува науката брзо развивање на индустријата и технологијата, Њутн и Лајбниц создадена од заедничките начини за наоѓање на функциите на стапка на промена (особено во однос на механички брзина од телото на познатите траекторија), што доведе до воведување на ваквите концепти, како дериват функција и диференцијал, и исто така се најде алгоритам обратен проблем решенија како што е познато само по себе (променливи) брзини поминува се најде на патот, кој доведе до концептот на интегрален Ала.

Во делата на идејата Лајбниц и Њутн прв се чини дека на разлики - е пропорционално со зголемување на основните аргументи Δh наголемува Δu функции кои може да се примени успешно да се пресмета вредноста на вторите. Со други зборови, тие се откриени тоа, што функцијата на инкрементот може да биде во било која точка (во рамките на својот домен на дефиниција) е изразена преку нејзините деривати и Δu = y '(x) Δh + αΔh каде α Δh - остатокот, со тенденција да се нула, како Δh → 0, многу побрзо отколку на реалните Δh.

Според основачите на математичката анализа, диференцијалите - тоа е токму првиот мандат во интервали од било функции. Дури и без јасно дефинирана граница концепт секвенци се сфати интуитивно дека разликата на вредноста на изводот има тенденција да функционира кога Δh → 0 - Δu / Δh → Y '(x).

За разлика од Њутн, кој беше првенствено физичар и математички апарат смета како помошна алатка за проучување на физичките проблеми, Лајбниц посвети повеќе внимание на овој прирачник, вклучувајќи систем на визуелни и разбирливи симболи математички вредности. Тоа беше тој кој го предложи стандард нотација на разликите функција dy = y (x) dx, DX, и извод на функцијата аргумент нивната врска y '(x) = dy / dx.

Современата дефиниција

Што е разлика во однос на модерната математика? Тоа е тесно поврзано со концептот на променлива зголемување на. Ако променливата y зема првата вредност на y y = _1, тогаш y = y _2, разликата y ₂ ─ y ₁ се нарекува зголемување на вредноста y. Зголемувањето може да биде позитивен. негативни и нула. Зборот "зголемување" е назначен Δ, Δu снимање (читај "делта y ') означува вредноста на y на прираст. така Δu = y ₂ ─ y _1.

Ако вредноста Δu произволна функција y = f (x) може да биде претставен како Δu = A Δh + α, каде што не е зависноста од Δh, t. E. A = const за даден x, а терминот α кога Δh → 0 тенденција да тоа е дури и побрзо од вистинската Δh, а потоа првиот ( "господар") термин пропорционална Δh, и е за y = f (x) диференцијална, означена dy или DF (x) (чита "y de", "de eff од X"). Затоа диференцијали - на "главните" линеарен однос на компонентите на зголемувања Δh функции.

механички објаснување

Ајде s = f (t) - растојанието во права линија се движи материјал точка од почетната позиција (t - времето на патување). Зголемување Δs - е начинот на кој момент во текот на временски интервал Δt, и диференцијални ДС = f (t) Δt - овој пат, кој момент ќе се одржи за истото време Δt, ако таа го задржа ѓ брзина '(t), стигна во време t . Кога бесконечно Δt ДС имагинарен пат се разликува од фактичката Δs infinitesimally има повисок ред во однос на Δt. Ако брзината на времето t не е еднаква на нула, ДС приближната вредност дава мала пристрасност точка.

геометриска интерпретација

Нека линија L е график на y = f (x). Тогаш Δ x = MQ, Δu QM = "(види. Сликата подолу). Тангента MN крши Δu се сече на два дела, Qn и NM. Прво и Δh е пропорционална Qn = MQ ∙ TG (агол QMN) = Δh f '(x), t. E Qn е dy диференцијална.

Во вториот дел од разликата Δu NM'daet ─ dy, кога Δh должина → 0 NM "се намалува дури и побрзо од зголемување на аргументот, односно има редот на маленкоста повисока од Δh. Во овој случај, ако f '(x) ≠ 0 (не-паралелна тангента OX) сегменти QM'i Qn еквивалентно; со други зборови NM "брзо се намалува (цел на маленкоста на своите повисоки) од вкупниот прираст Δu = квалификуваното мнозинство. Тоа се гледа на слика (отприлика сегмент M'k M NM'sostavlyaet сите помал процент QM "сегмент).

Значи, графички диференцијални произволна функција е еднаква на пораст на ордината на тангентата.

Извод и диференцијал

А фактор во првиот мандат на прираст израз функција е еднаква на вредноста на дериватот на својата f '(x). Така, следниве однос - dy = f '(x) Δh или DF (x) = f' (x) Δh.

Познато е дека чекорот на независна аргумент е еднаква на нејзината диференцијални Δh = dx. Соодветно на тоа, ние може да напише: f '(x) dx dy =.

Наоѓање (понекогаш се вели дека е "Одлуката") Разликите се врши од страна на истите правила како и за деривати. Листа од нив се дадени подолу.

Што е уште поважно универзални: чекорот на аргументот или неговите диференцијални

Овде е потребно да се направи некои појаснувања. Застапеност вредност f '(x) диференцијални Δh можно кога се размислува x како аргумент. Но, функцијата може да биде сложен, во кој x може да биде во функција на аргументот т. Тогаш застапеност на диференцијалната израз на f '(x) Δh, како по правило, не е возможно; освен во случај на линеарна зависност x = на + b.

Што се однесува до формулата f '(x) dx = dy, а потоа во случајот на независна аргументот x (тогаш dx = Δh) во случај на параметарски зависноста на x t, тоа е диференцијална.

На пример, изразот 2 x Δh е за y = x ² својата диференцијална кога X е аргумент. Ние сега x = t ² и да се претпостави t аргумент. Тогаш y = x ² = t ^4.

Ова е проследено со (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Оттука Δh = 2tΔt + Δt ^2. Оттука: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Овој израз не е пропорционална со Δt, и затоа сега 2xΔh не е различен е. Тоа може да се најде од равенката y = x ² = t ^4. Тоа е еднакво dy = 4t ³ Δt.

Ако го земеме израз 2xdx, тоа е диференцијалната y = x ² за секој аргумент т. Навистина, кога x = t ² се добие dx = 2tΔt.

Значи 2xdx = 2t 2tΔt ² = 4t ³ .DELTA.t, т. Е. разлики Изразот снимени од страна на две различни променливи се совпаѓаат.

Замена на зголемување на разликите

Ако f '(x) ≠ 0, а потоа Δu и dy еквивалент (кога Δh → 0); Ако f '(x) = 0 (значењето и dy = 0), тие не се еквивалентни.

На пример, ако y = x ^2, потоа Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² и dy = 2xΔh. Ако x = 3, тогаш имаме Δu = 6Δh + Δh ² и dy = 6Δh кои се еквивалентни поради Δh ² → 0, кога x = 0 вредност Δu Δh = ² и dy = 0 не се еквивалентни.

Овој факт, заедно со едноставна структура на диференцијални (м. Е. Линеарност во однос на Δh), често се користи во приближна пресметка, под претпоставка дека Δu ≈ dy за мали Δh. Најди диференцијални функција е обично полесно отколку да се пресмета точната вредност на прираст.

На пример, имаме метални коцка со раб x = 10,00 см. На загревање на работ на издолжени Δh = 0,001 см. Како зголемување на волуменот на коцка V? Имаме V = x ^2, така што dv = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ февруари 0/01 = 3 (м ^3). Зголемување на ΔV еквивалент диференцијален влез за DV, така што ΔV = 3 cm ^3. Целосна пресметка ќе даде ³ ΔV = 10,01 ─ март ¹⁰ = 3,003001. Туку резултат на сите бројки со исклучок на првиот несигурни; затоа, таа е сè уште се потребни за да се заокружи до 3 cm ^3.

Очигледно, овој пристап е корисно само ако тоа е можно да се процени вредноста даваше со грешка.

Диференцијални функција: примери

Ајде да се обидеме да се најде на диференцијалот на функцијата y = x ^3, наоѓање на деривати. Нека ни даде зголемување аргумент Δu и дефинира.

Δu = (Δh + x) ─ ³ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Еве, коефициентот A = 3x ² не зависи од Δh, така што првиот мандат е пропорционална Δh, другите земји 3xΔh Δh ² + ³ кога Δh → 0 намалува побрзо од зголемување на аргумент. Како резултат на тоа, член на 3x ² Δh е диференцијална на y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx или d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Кадешто D (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Ние сега се најде на функцијата y = 1 / x со деривати. Тогаш D (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Затоа dy = ─ Δh / x ^2.

Диференцијали основните алгебарски функции се дадени подолу.

Приближни пресметки со користење диференцијални

За проценка на функцијата f (x), и нејзините деривати f '(x) за x = a е често тешко, но да го стори истото во близина на x = a не е лесно. Потоа дојде до помош на приближниот изразување

f (a + Δh) ≈ f '(а) Δh + f (a).

Ова му дава приближна вредност на функцијата на мали чекори преку своите диференцијални Δh f '(а) Δh.

Затоа, оваа формула дава приближна израз за функција на крајната точка на еден дел од должината Δh како збир од својата вредност на почетна точка на делот (x = a) и диференцијална во иста почетна точка. Точноста на методот за одредување на вредностите на функцијата подолу покажува цртежот.

Сепак познат и точната израз за вредноста на функцијата x = a + Δh дадена со формулата конечни чекори на зголемување (или, алтернативно, со формулата Lagrange е)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (а),

каде што точката x = a + ξ се движи во интервал од x = a за x = a + Δh, иако неговата точна позиција е непозната. Точната формула овозможува да се оцени на грешка на приближната формула. Ако се стави во формула ξ на Лагранж = Δh / 2, иако тоа престанува да биде точна, но дава, како по правило, многу подобар пристап отколку оригиналниот израз во однос на диференцијал.

формули евалуација грешка со примена на диференцијално

Мерни инструменти , во принцип, неточни, и донесе на податоците од мерењата што одговара на грешка. Тие се карактеризираат со ограничување на апсолутна грешка, или, на кратко, на границата грешка - позитивни, јасно надминување на грешка во апсолутна вредност (или најмногу еднакво на тоа). Ограничување на релативната грешка се нарекува количник добиени со поделба на апсолутната вредност на измерената вредност.

Да точната формула y = f (x) функцијата се користи за да се vychislyaeniya y, но вредноста на x е резултат на мерењето, а со тоа и носи грешка y. Потоа, да се најде на ограничување на апсолутна грешка │Δu│funktsii y, со користење на формулата

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

каде │Δh│yavlyaetsya аргумент маргинална грешка. │Δu│ количество мора да бидат заоблени нагоре, како се неточни пресметка е замена на прираст на пресметка на диференцијал.