Диференцијална анализа на функциите на еден и неколку променливи

Диференцијална анализа е гранка на математичката анализа, која го проучува дериват, диференцијали и нивната употреба во студијата на функции.

Приказната за

Диференцијална анализа појави како независна дисциплина во втората половина на 17 век, благодарение на работата на Њутн и Лајбниц, којшто ја формулираше основните одредби во пресметката на разликите и забележал врската меѓу интеграција и диференцијација. Од дисциплина тој се развива заедно со пресметката на интеграли, со што ја сочинуваат основата на математичката анализа. Појавата на овие камења отвори нов модерен период во математички свет и предизвика појавата на нови дисциплини во областа на науката. Исто така се проширува можноста за примена на математика во природните науки и инженерство.

основните концепти

Диференцијална анализа се базира на основните концепти на математиката. Тие се: вистински број, континуитет и за ограничување на функцијата. По некое време, тие ги презеле модерен изглед, благодарение на интегрален и диференцијална анализа.

Процесот на создавање на

Формирање на диференцијална анализа во форма на апликација, а потоа и на научниот метод се случи пред појавата на филозофската теорија, која беше формирана од страна на Николај Kuzansky. Неговото дело се смета за еден еволутивен развој од древна наука на пресудата. И покрај фактот дека и самиот филозоф, не беше математичар, неговиот придонес во развојот на математички науки е неприкосновено право. Cusa, една од првите надвор од разгледување на аритметички како најточни науки, математика ставање на време во прашање.

Во антички математичари универзален критериум е единица, а филозофот предложен како нова мерка бесконечност се врати на точниот број. Во врска со ова превртен застапеност на точност во математички науки. Научни сознанија, според него, е поделена на рационално и интелигентни. Вториот е повеќе точно, според научникот, откако поранешниот дава само приближни резултати.

идејата

Основната идеја и концепт на диференцијална анализа поврзани со функцијата во една мала населба на одредени точки. За таа цел неопходно е да се создаде математички апарат да функционира студии чие однесување во една мала населба на поени се инсталира во близина на однесувањето на линеарна функција или полином. Врз основа на оваа дефиниција на деривати и диференцијал.

Појавата на концептот на дериват била предизвикана од страна на голем број на проблеми на природните науки и математика, што доведе до утврдување на граничните вредности од ист тип.

Една од главните задачи кои се дадени како пример, почнувајќи од најстарите часовите во училиштата, е да се одреди брзината на движење на точка во права линија и изградба на тангента на оваа крива. Диференцијалната поврзани со ова, бидејќи тоа е можно да се приближи на функцијата во една мала населба на местото на линеарна функција.

Во споредба со концептот на извод на функција на една реална променлива, дефиницијата на разликите едноставно поминува на функција на општата природа, особено на сликата на еден Евклидов простор на друг.

дериват

Нека се движи точка во насока на y-оската, за тоа време ние се X, која се мери од почетокот на еден миг. Опишете таквото движење е можно од страна на функцијата y = f (x), кој е поврзан на секое време точка x координатата заменлива точка. Оваа функција повик во механика да го земе законот на движење. Главната карактеристика на движење, особено нерамна, е моменталната брзина. Кога точка се движи по должината на y-оската во согласност со законот на механиката, случаен момент на време тоа се стекнува координираат x f (x). Во времето точката x + Δh, каде Δh претставува зголемување од времето, тоа ќе kordinaty f (x + Δh). На тој начин формираат со формулата Δy = f (x + Δh) - f (x), кој се нарекува функција на зголемување. Тоа е точка на патот поминува во времето од X до x + Δh.

Во врска со појавата на брзина на време дериват е администриран. Извод од било која функција на фиксна точка наречена граница (претпоставувајќи дека постои). Тоа може да се однесува на одредени карактери:

f '(x), Y', Y, DF / DX, dy / DX, DF (x).

На процесот на пресметување на Дериват на повик диференцијација.

Диференцијална анализа на функции од повеќе променливи

Овој метод се применува при пресметување функција студија, неколку променливи. Кога постојат две променливи x и y, делумното дериват во однос на x на точката А се нарекува дериват на оваа функција во X со фиксна y.

Може да се означи со следните симболи:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x и ∂f (x, y) '/ ∂x.

потребни вештини

Со цел успешно да учат и да бидат способни да го решат diffury потребните вештини во процесот на интеграција и диференцијација. За да може полесно да се разбере на диференцијални равенки, мора да се сфати тема деривати и неопределен интеграл. Исто така, не боли да се научат да се погледне за извод на имплицитна функција. Ова се должи на фактот дека во процесот на учење често ќе ја користи интеграли и диференцијација.

Типови на диференцијални равенки

Практично сите работи на контрола поврзани со од прв ред диференцијални равенки, има 3 типа на равенки: хомогена, со променливи можат да бидат одделени, линеарна нехомогена.

Исто така постојат и повеќе ретки видови равенки со вкупна разлики, Бернулиева равенка, и други.

Основи решенија

За да започнете, ќе треба да се запамети е алгебарска равенка на курсот училиште. Тие ги содржат променливи и броеви. Со цел да се реши равенката конвенционални да најдете многу на броеви кои ги задоволуваат условот. Обично, овие равенки има еден корен, а за верификација треба да се замени само оваа вредност во место непознат.

диференцијалната равенка е сличен на овој. Во принцип, равенка од прв ред се состои од:

• Независна променлива.
• A Дериват на првата функција.
• Функција или зависна променлива.

Во некои случаи, може да има една непозната, x или y, но тоа не е толку важно колку што е потребно да се има на првиот извод, без поголема деривати со цел за решавање и диференцијална анализа беа вистинити.

Решавање на диференцијални равенки - тоа значи да се најде множество на сите функции, кои се погодни дадениот израз. Таквите комплети на функции честопати се нарекува општа контрола решение.

составен анализа

Составен анализа е еден од деловите на математичката анализа, која ги истражува концептот на составен, особините и методите на пресметување на истиот.

Често пресметката на интегрален јавува при пресметување на плоштина на криволиниски облик. Со тоа значи ограничување област, кон која предодредено областа на форма на впишан полигон со постепено зголемување на раката, и од страна на податоци може да се направи помалку од било кој претходно утврдени произволно мала вредност.

Основната идеја во пресметката на областа на која било геометриски облик се пресметува плоштина на правоаголник, тогаш не постои доказ дека неговата површина е еднаква на производот од должината на ширина. Кога станува збор за геометрија, а потоа сите објекти се направени со користење на еден владетел и компас, а потоа соодносот на должина и ширина е рационално вредност. При пресметување на областа на правоаголен триаголник може да се утврди дека ако се стави на следната триаголник, е формирана правоаголник. Во областа на паралелограм се пресметува во слични, но малку повеќе комплицирано метод, во рамките на правоаголник и триаголник. Во областа на многуаголник се смета од страна на триаголници вклучени во него.

При утврдување на милост и немилост на произволни, овој метод не одговара на крива. Ако ние се скрши на индивидуални плоштади, ќе остануваат непополнети места. Во овој случај, пробајте да користите два слоја, со правоаголници погоре и подолу, како резултат на тие вклучуваат графикот на функцијата и не ги вклучува. Важно тука е начин да се пробие овие правоаголници. Исто така, ако се земе пауза се повеќе и повеќе се намали, од областа на врвот и на дното да се спојуваат на одредена вредност.

Тоа треба да се врати метод за одделување на правоаголници. Постојат два популарни методи.

Риман беше формализиран дефиницијата за интеграл, создадена од страна на Њутн и Лајбниц, како од областа на subgraph. Во овој случај, ние се смета за личност која се состои од одреден број на вертикални правоаголници добива со делење на интервал. Кога кршење намалување постои ограничување на кои се намалени областа на таква личност, оваа граница се нарекува Риман интеграл на функцијата во одреден временски интервал.

Вториот метод е да се изгради на Lebesgue составен, се состои во фактот дека на местото на поделба одредена област на дел од integrand и составувањето тогаш составен збирот на вредностите добиени во овие делови, во интервали подели својот опсег на вредности, а потоа ги сумираше со соодветните мерки обратен слики од овие интеграли.

современи помагала

Една од главните придобивки за проучување на диференцијална и составен анализа Fikhtengol'ts пишува - "на диференцијални и интегрални анализа." Неговиот учебник е основна алатка за проучување на математичката анализа, која издржа многу изданија и преводи на други јазици. Создадена за студентите и за долго време се користи во различни образовни институции, како еден од главните придобивки на студијата. Тој им дава информации теоретски и практични вештини. Првпат објавена во 1948 година.

функција истражување алгоритам

Да се истражуваат методи за диференцијални анализа функција, што треба да следи е веќе даден алгоритам:

1. Најди доменот на функцијата.
2. Најди ги корените на дадената равенка.
3. Пресметување на крајности. За да го направите ова, ние се пресмета извод и на местото каде што е еднаква на нула.
4. Ние се замени вредноста добиена во EQ.

Сорти на диференцијални равенки

Контрола од прв ред (инаку, диференцијална анализа на една променлива) и нивните видови:

• Со можат да се одделат променливи равенката: f (y) dy = g (x) dx.
• Наједноставниот равенката или диференцијална анализа функција на една променлива, ја има формулата: Y '= f (x).
• На линеарна прв ред nonuniform контрола: Y '+ P (x) y = Q (x).
• Бернули диференцијална равенка: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Равенката вкупното разлики со: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

На диференцијални равенки од втор ред и нивните видови:

• Хомогена линеарна втор ред диференцијална равенка со константни ^{коефициенти: y n + py '+ QY} = 0 p, q припаѓа Р.
• Нехомогенизирани линеарна втор ред диференцијална равенка со константни коефициенти ^{вредноста не: y n + py '+ QY} = f (x).
• Хомогена линеарна диференцијална ^{равенка: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, и нехомогенизирани втор ред ^{равенката: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Диференцијални равенки од повисок ред и нивните видови:

• На диференцијална равенка, овозможувајќи намалување на ^{цел: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Линеарна равенка од повисок ред ^{_{хомогена: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, и ^{_{нехомогенизирани: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Фази на решавање на проблемот со диференцијалната равенка

Со помош на далечинскиот управувач се реши не само математика или физичките проблеми, но исто така и различните проблеми на биологија, економија, социологија и други. И покрај широкиот спектар на теми, треба да ги следат еден логички редослед за решавање на овие проблеми:

1. Изготвување контрола. Една од најтешките фази, која бара максимална точност, бидејќи секоја грешка ќе доведе до целосно погрешни резултати. Неопходно е да се земе во предвид сите фактори кои влијаат на процесот и да се одреди почетните услови. Исто така, треба да се базира на факти и логични заклучоци.
2. За решавање на равенки. Овој процес е полесно да се на првото место, бидејќи тоа бара само строго спроведување на математички пресметки.
3. Анализа и евалуација на резултатите. Добиени решение треба да се оценуваат за инсталација на практична и теоретска вредност на резултатот.

Еден пример на употреба на диференцијални равенки во медицината

Користење на далечинскиот управувач во областа на медицината се наоѓа во изградба на епидемиолошки математички модел. Ние не треба да заборавиме дека овие равенки, исто така, се наоѓаат во биологија и хемија, кои се блиски на лекот, поради тоа што игра важна улога проучување на различни биолошки население и хемиските процеси во човечкото тело.

Во овој пример, епидемијата на ширење на инфекцијата може да се третира во изолирана заедница. Жителите се подели во три вида:

• Заразени, бројот на x (t), која се состои од индивидуи, заразни носачи, од кои секој е заразни (период на инкубација е кратко).
• Вториот тип вклучува подложни поединци y (t), може да се заразени со контакт со инфицирани.
• На третиот тип вклучува огноотпорни лица z (t), кои се имуни или изгубени поради болест.

Број на поединци постојано, имајќи раѓање, природна смрт и миграција не се смета. Во основата ќе биде две хипотези.

Процент болест на некое време точка е еднаква на x (t) y (t) (врз претпоставка на теоријата дека бројот на случаи во однос на бројот на раскрсници помеѓу пациентите и одговорни членови, кои во прва апроксимација е пропорционална на x (t) y (t)), во затоа бројот на случаи се зголемува, а бројот на осетливи се намалува, по стапка која се пресметува со формулата секира (t) y (t) (a> 0).

Број на не-responders животни кои умреле или стекнат имунитет, зголемена по стапка која е пропорционален на бројот на случаи, bx (t) (b> 0).

Како резултат на тоа, може да се воспостави систем на равенки со сите три индикатори врз основа на заклучоците.

употреба ПРИМЕР економија

Диференцијална анализа често се користи во економските анализи. Главната задача во економската анализа се смета за изучување на вредностите на економијата, кои се евидентирани во форма на функцијата. Тоа се користи за решавање на проблемите како што се промените во даночните приходи се зголемува веднаш потоа, влез такси, промените во приходите при промена на вредноста на производот, во кој дел може да биде заменет од страна на пензионираните работници со нова опрема. За решавање на ваквите проблеми, тоа е потребно да се изгради комуникација функција на влезните променливи, кој, по се испитуваат од страна диференцијална анализа.

тоа е често е потребно да се најде на повеќето оптимални перформанси во економската сфера: максимална продуктивност, највисок приход, најниска цена и така натаму. Секоја таква компонента е во функција на една или повеќе аргументи. На пример, производството може да се смета како функција на трудот и капиталот. Во врска со ова, изнаоѓање на соодветни вредност може да се намали за да се добие максимум или минимум на функција на еден или повеќе променливи.

Ваквите проблеми се создаде една класа на екстреми проблеми во областа на економијата, за кои треба диференцијална анализа. Кога се бара економски индикатор за да се намали или зголеми како функција на други параметри, максималната точка функција односот зголемување на аргументи ќе имаат тенденција да се нула ако чекорот на аргумент има тенденција да се нула. Инаку, кога таквиот став има тенденција да одредена позитивна или негативна вредност, во одреден момент не е соодветен, бидејќи со зголемување или намалување на аргумент може да се менува зависно вредност во посакуваната насока. Во диференцијалната анализа терминологија, тоа би значело дека потребните услови за максимална функција е нулта вредност на нејзините деривати.

Економијата не е невообичаено проблем за наоѓање на Екстрем на функција на неколку променливи, затоа што економските индикатори се составени од многу фактори. Ваквите прашања се добро разбрани во теоријата на функции од повеќе променливи, начинот на пресметување на диференцијал. Ваквите проблеми вклучуваат не само максимизиран и минимизиран функција, но исто така и ограничувања. Овие прашања се поврзани со математички програмирање, и тие се решени со помош на специјално развиени методи, исто така, се базира на оваа гранка на науката.

Меѓу методите на диференцијални анализа се користи во економијата, важен дел е најголемиот тест. Во економската сфера, терминот се однесува на збир на методи на истражување на променливи перформанси и резултати кога ќе го смените гласноста на создавањето, потрошувачка, врз основа на анализа на нивните гранични вредности. Ограничување на индикација смета дериват или делумна деривати со неколку променливи.

Диференцијална анализа на неколку променливи - важна тема на математичката анализа. За детална студија, можете да го користите на различни наставни помагала за високо образовните институции. Еден од најпознатите создадена Fikhtengol'ts - "на диференцијални и интегрални анализа." Колку од име за решавање на диференцијални равенки од големо значење за да имаат вештини за работа со интеграли. Кога постои диференцијална анализа на функции од една променлива, одлуката станува полесно. Иако, тоа треба да се напомене, ја следи истите основни правила. Во пракса, да се испита функцијата на диференцијална анализа, само следете ги веќе постоечките алгоритам, кој е даден во средно училиште, а само малку комплицирано, со воведувањето на нови променливи.