И хомогена линеарна диференцијална равенка од прв ред. примери на решенија

Мислам дека треба да се започне со историјата на славното математичка алатка што се диференцијални равенки. Како и сите диференцијална и составен анализа, овие равенки биле измислени од страна Њутн во доцниот 17-ти век. Тој верува дека тоа е негово откритие толку важно што дури и на шифрирана порака, која денес може да се преведе како што следува: ". Сите законите на природата што е опишано од страна на диференцијални равенки" Тоа може да изгледа претерано, но тоа е вистина. Секој закон на физиката, хемијата, биологијата, може да се опише со овие равенки.

Огромен придонес во развојот и создавање на теоријата на диференцијални равенки имаат математиката на Ојлер и Лагранж. Веќе во 18 век се откриени и развиена за она што е сега студираат на универзитетот курсеви високи.

Една нова пресвртница во студија на диференцијални равенки почна благодарение на Анри Puankare. Тој создаде "квалитативни теорија на диференцијални равенки", кој, во комбинација со теоријата на функциите на комплексни променливи значително придонеле за основање на топологија - наука на простор и нејзините својства.

Кои се диференцијални равенки?

Многу луѓе се плашат од фразата "диференцијална равенка". Сепак, во овој напис, ние ќе се постави во детали суштината на оваа многу корисни математичка алатка која всушност не е толку комплицирано како што изгледа од насловот. Со цел да почнат да се зборува за прв ред диференцијални равенки, мора прво да се запознаат со основните концепти кои се суштински поврзани со оваа дефиниција. И ние ќе се започне со диференцијал.

диференцијална

Многу луѓе знаат овој термин од средно училиште. Сепак, се уште се задржиме на тоа во детали. Замислете на графикот на функцијата. Ние може да го зголеми до таква мера, дека било кој од својот сегмент станува права линија. Ќе треба да помине две точки кои се бескрајно блиску еден до друг. Разликата помеѓу нивната ширина, (x или y) е бесконечно. И тоа се нарекува диференцијална и ликови назначи dy (диференцијална на y) и dx (диференцијалната на x). Тоа е важно да се разбере дека разликата не е крајната вредност, а тоа е смислата и главната функција.

И сега ќе мора да се разгледа на следниве елементи, кои ние ќе треба да се објасни концептот на диференцијални равенки. Тоа - дериват.

дериват

Сите од нас мора да сте слушнале на училиште и овој поим. Тие велат дека дериват - е стапката на раст или пад на функцијата. Сепак, оваа дефиниција станува повеќе збунувачки. Дозволете ни да се обидам да објаснам дериват однос на диференцијали. Да се вратиме на периодично функција бескрајно со две точки, кои се наоѓаат на минимална оддалеченост едни од други. Но, дури и надвор од оваа функција на далечина е време за промена на некои вредност. И за да се опише таа промена и да излезе со дериват кои инаку би биле напишани како односот на разлики: f (x) '= df / dx.

Сега е неопходно да се разгледа на основните својства на деривати. Има само три:

1. Адаптирани сумата или разликата може да биде претставен како збир или разлика на деривати: (a + b) '= a' + b ', и (ab)' = a'-b '.
2. Вториот Имотот е поврзан со множење. Адаптирани дела - е збир на дела од една функција во друг дериват на: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. На Дериват на разликата може да се запише како на следнава равенка: (a / b) '= (A' * ba * b ') / b ^2.

Сите овие карактеристики ни се најде за изнаоѓање решенија за диференцијални равенки од прв ред.

Исто така, постојат парцијални изводи. Да претпоставиме дека имаме функција на z, која зависи од променливи x и y. За да се пресмета делумна дериват на оваа функција, на пример, во х, ние треба да ги преземат променлива y за постојано и лесно да се разликува.

составен

Друг важен концепт - составен. Всушност тоа е спротивно на деривати. Интеграли неколку видови, но наједноставниот решенија на диференцијални равенки, треба најтривијалните неопределени интеграли.

Значи, она што е интегрален? Да речеме дека имаме некаква врска ѓ на x. Ние се од него интегрален и да добие функцијата f (x) (често се нарекува како примитивно), која е дериват на оригиналната функција. Затоа F (x) '= f (x). Ова исто така значи дека интеграл на дериват е еднаква на оригиналната функција.

Во решавање на диференцијални равенки, тоа е многу важно да се разбере значењето и функцијата на интегрален, бидејќи многу често треба да ги преземе за да се најдат решенија.

Формулите се различни во зависност од нивната природа. Во следниот дел ќе се погледне на видови од прв ред диференцијални равенки, а потоа да научите како да ги реши.

Класи на диференцијални равенки

"Diffury" поделени по наредба на деривати кои се вклучени во нив. Така, постои прва, втора, трета или повеќе ред. Тие, исто така може да бидат поделени во неколку класи: обични и парцијални.

Во овој напис, ние ќе се разгледа на обичните диференцијални равенки од прв ред. Примери и решенија ќе разговараат во следните делови. Ние само се разгледа на TAC, бидејќи тоа е од најчестите видови на равенки. Обичните поделена на подвидови: со променливи можат да бидат одделени, хомогени и хетерогени. Напред ќе научат како тие се разликуваат едни од други, и да научат како да ги реши.

Покрај тоа, овие равенки може да се комбинираат, така што откако ќе се добие систем на диференцијални равенки од прв ред. Ваквите системи, ние исто така се погледне и да научат како да се реши.

Зошто ние се размислува само првиот ред? Поради тоа што е потребно за да започнете со едноставен и опишуваат сите поврзани со диференцијални равенки, во една статија тоа е невозможно.

Равенки со променливи можат да бидат одделени

Ова е можеби повеќето едноставно прв ред диференцијални равенки. Овие се примери кои може да се запише како: y '= f (x) * f (y). За да се реши оваа равенка треба застапеноста формула на изводот како односот на разлики: y '= dy / dx. Со тоа ние се добие равенката: dy / dx = f (x) * f (y). Сега можеме да се сврти кон начинот на решавање на стандардни примери: поделба на променливи во делови, односно брзо напред сите променливата y во делот каде што има dy, а исто така да променливата x ... Добиеме равенката на форма: dy / f (y) = f (x) dx, која се постигнува со преземање на интеграли на два дела. Не заборавајте за константа што сакате да се стави по интеграција.

Решение на сите "diffura" - е во функција на х од y (во нашиот случај), или ако постои нумеричка состојба, одговорот е број. Дозволете ни да се испита конкретен пример на целиот курс на одлуката:

Y '= 2y * sin (x)

Трансфер на променливи во различни насоки:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Сега, земи интеграли. Сите од нив може да се најде во посебна табела на интеграли. И добиваме:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Ако е потребно, може да се изрази, "y" како функција од "Х". Сега можеме да кажеме дека нашата диференцијална равенка е решен, ако не е одредено состојба. Може да биде одредена состојба, на пример, y (n / 2) = e. Тогаш ние едноставно ќе се замени вредноста на овие променливи во одлуката и да се најде вредноста на константата. Во нашиот пример, тоа е 1.

Хомогена диференцијални равенки од прв ред

Сега за повеќе комплексни делови. Хомогена прв ред диференцијални равенки може да се запише во општа форма како: Y '= z (x, y). Треба да се напомене дека правото функција од две променливи е униформа, а тоа не може да се подели на два во зависност од: z x и z од y. Проверете дали равенката е хомогена или не, е сосема едноставна: ние се направи замена x = k * x и y = к * y. Сега ние ги намали сите k. Ако овие букви се намали, тогаш равенката хомогени и можат безбедно да се продолжи за негово решавање. Гледајќи напред, ние велиме: принципот на решавање на овие примери е исто така многу едноставно.

Ние треба да се направи замена: y = t (x) * x, каде t - функција која, исто така, зависи од x. Тогаш ние може да се изрази Дериват: Y '= t' (x) * x + t. Замена на сите ова во нашата оригинална равенка и поедноставување, го имаме примерот на поделба на променливи t како x. Решавање на тоа и да добие зависноста на t (x). Кога ние ги добивме, едноставно замени нашите претходни замена y = t (x) * x. Тогаш ние се добие зависноста на y на x.

За да биде појасно, ние треба да се разбере еден пример: x * y '= yx * e Y / x.

При проверката на замена на сите опаѓање. Значи, равенката е навистина хомогена. Сега направи уште една замена, ние разговаравме за: y = t (x) * x и y '= t' (x) * x + t (x). По поедноставување на следнава равенка: t '(x) * x = -e т. Ние одлучи да добијат примерок со одвоени варијабли и ^{добиваме: Е Т = ln (C *} x). Ние само треба да го замени t од Y / x (бидејќи ако y = t * x, тогаш t = Y / x), и да добиеме ^{одговор: e-Y / x = ln (} x * C).

Линеарни диференцијални равенки од прв ред

Тоа е време да се разгледа уште една широка тема. Ние ќе го разгледаме хетерогени прв ред диференцијални равенки. Како тие се разликуваат од претходните два? Ајде да се соочиме со тоа. Линеарни диференцијални равенки од прв ред во општата форма на равенката може да се запише на тој начин: Y '+ g (x) * y = z (x). Треба да се појасни дека z (x) и g (x) може да биде константна вредност.

Еве еден пример: y '- y * x = x ^2.

Постојат два начина да се реши, и ние цел Дозволете ни да се испита и од нив. Првиот - на методот на варијација на произволни константи.

За да се реши равенката на овој начин, тоа е потребно да се изедначуваат првата десна рака на нула, и да ги реши резултира равенка која по трансферот на делови станува:

Y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | Y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Сега е потребно да го замени постојана C ₁ на функцијата V (x), кој ќе се најде.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Нацртајте замена на дериватот:

^{Y '= v' * e x2} / ^2-X * v * e ^{x2 / 2.}

И замена на овие изрази во оригиналната равенка:

V '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Можете да видите дека во левата страна на овие два термина се намалуваат. Ако некои примери на тоа не се случи, тогаш сте направиле нешто погрешно. Ние продолжуваме да:

V '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Сега можеме да го реши обично равенка во која сакате да се подели на варијабли:

DV / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- X2 / 2} dx.

За да го отстраните составен, ние треба да се применуваат на парцијална интеграција тука. Сепак, ова не е тема на овој член. Ако сте заинтересирани, можете да дознаете на свој да се вршат такви активности. Тоа не е тешко, и со доволно вештина и грижа не е време.

Што се однесува до вториот метод за решавање на нехомогенизирани формули: Бернули метод. Што пристап е побрзо и полесно - тоа е до вас.

Значи, кога се занимаваат со овој метод, ние треба да се направи замена: y = к * n. Еве, k и n - некои функции во зависност од x. Тогаш дериват ќе изгледа вака: y '= k "* n + k * n". Заменик две замени со равенката:

K '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Група до:

K '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Сега е неопходно да се изедначува со нула, што е во загради. Сега, ако се комбинираат две резултира равенки, ние се добие систем од прв ред диференцијални равенки да се реши:

n '+ x * n = 0;

K '* n = x ^2.

Првиот еднаквост одлучи како вообичаените равенката. За да го направите ова, ќе треба да се подели на варијабли:

DN / dx = x * v;

DN / n = xdx.

Земаме интегрална и се добива: ln (n) = x ^2/2. Потоа, ако ние изразуваме n:

n = e ^{x2 / 2.}

Сега се замени како резултат на равенката во втората равенка:

K '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

И трансформирање, ние се добие истата равенка како и во првиот метод:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Ние, исто така, нема да разговараат за понатамошна постапка. Се вели дека во прв прв ред диференцијални равенки решение предизвикува значителни тешкотии. Сепак, подлабоко потопување во темата почнуваат да се подобро и подобро.

Каде се диференцијални равенки?

Многу активни диференцијални равенки се користи во физиката, како и речиси сите основни закони се напишани во диференцијалната форма, и овие формули, кои ги гледаме - решение за овие равенки. Во хемијата, тие се користат за истата причина: на основните закони се добиени преку нив. Во биологијата, диференцијални равенки се користат за да се моделира однесувањето на системи, како предатор - плен. Тие, исто така може да се користи за да се создаде модели на репродукција, на пример, колонии микроорганизми.

Како диференцијални равенки помогне во животот?

Одговорот на ова прашање е едноставен: ништо. Ако не сте научник или инженер, тоа е веројатно дека тие ќе бидат корисни. Сепак, не боли да се знае што диференцијалната равенка и тоа да се реши за целокупниот развој. И тогаш прашањето за син или ќерка ", што е диференцијална равенка?" не ќе се стави во ќорсокак. Па, ако сте научник или инженер, тогаш знаете важноста на оваа тема во било наука. Но што е најважно, дека сега на прашањето "како да се реши диференцијални равенки од прв ред?" секогаш ќе биде во можност да даде одговор. Се согласувам, тоа е секогаш е убаво кога ќе сфатат дека она што луѓето се плашат дури и да дознаете.

Главните проблеми во студијата

Главниот проблем во разбирањето на оваа тема е лоша навика на интеграција и диференцијација функции. Ако се чувствуваат непријатно ПРЕЗЕМАЊЕ изводи и интеграли, тоа е веројатно вреди повеќе да учат, да се запознаат со различни методи на интеграција и диференцијација, и само потоа да продолжи кон проучувањето на материјалот што е опишан во статијата.

Некои луѓе се изненадени да научат дека dx можат да се пренесат, како претходно (во училиште) тврди дека дел dy / DX е неделива. Тогаш ќе треба да го прочитате литература за извод и се разбере дека тоа е ставот на бескрајно мали количини, кои може да се манипулира во решавање на равенки.

Многу луѓе не веднаш сфати дека решението на диференцијални равенки од прв ред - ова е често на функција или neberuschiysya составен, и оваа заблуда им дава многу проблеми.

Што друго може да се изучува да се разбере подобро?

Тоа е најдобро да се почне уште повеќе потопување во светот на диференцијална анализа на специјализирани учебници, на пример, во математичка анализа за студенти на не-математички специјалитети. Потоа можете да се движите на повеќе стручна литература.

Се вели дека, во прилог на диференцијалот, се уште има интегрални равенки, така што секогаш ќе има нешто да се стремиме и што да учат.

заклучок

Се надеваме дека по читањето на оваа статија, ќе имаат идеја за она што диференцијални равенки и како да ги реши правилно.

Во секој случај, математиката на било кој начин корисни за нас во животот. Таа се развива логика и внимание, без која секој човек, бидејќи без раце.