А четириаголник со прави агли е ... Збирот на аглите на четириаголник

Една од најинтересните теми за геометријата од училишниот курс е "Quadrangles" (осмо одделение). Кои видови такви фигури постојат, кои особини имаат тие својства? Која е единственоста на четириаголници со агли од деведесет степени? Ајде да погледнеме во сето ова.

Која геометриска фигура се нарекува четворк

Полигони, кои се состојат од четири страни и, соодветно, од четирите темиња (агли), се нарекуваат квадрилатерали во евклидовата геометрија.

Интересна е историјата на името на овој вид фигури. На руски, именката "четириаголник" е формирана од фразата "четири агли" (на ист начин како "триаголник" - три агли, "пентагон" - пет агли, итн.).

Меѓутоа, на латински (преку чие посредство многу геометриски термини доаѓаат на повеќето јазици во светот) се нарекува четириаголник. Овој збор е формиран од броевите квадри (четири) и именката латус (страна). Значи можеме да заклучиме дека во антички овој многуаголник е наречен само "четириаголник".

Патем, ова име (со акцент на присуството на четири страни, а не агли) на оваа бројка е зачувано на некои современи јазици. На пример, на англиски јазик - четириаголник и на француски - квадрилатер.

Во исто време, на повеќето словенски јазици, видот на бројките што се разгледуваат се уште се идентификува со бројот на агли, а не од страните. На пример, на словачки (štvoruholník), на бугарски ("chetririaglnik"), на белоруски ("chatyrokhutnik"), на украински ("chotirikutnik"), на чешки (čtyřúhelník), но во полскиот квадрантот е именуван според бројот на партии - czworoboczny.

Какви видови на четириаголници се изучуваат во училишната програма

Во современата геометрија се разликуваат четири типа полигони со четири страни. Сепак, поради премногу сложените својства на некои од нив, само два вида се запознаваат со учениците во часовите по геометрија.

• Паралелограм (паралелограм). На спротивните страни на четириаголник се парпарно паралелни едни на други и, соодветно, исто така, се попарно.
• Трапециум (трапез или трапезоид). Овој четириаголник се состои од две спротивни страни паралелно едни на други. Сепак, другиот пар на партии нема таква функција.

Видови на четириаголници кои не се изучувале во училишниот курс на геометрија

Покрај горенаведеното, постојат уште два вида на четириаголници што не се воведуваат кај учениците во часовите по геометрија, поради нивната посебна сложеност.

• Делутоид (змеј) е фигура во која секој од двата пара соседни страни е еднаков во должина еден до друг. Името на овој четворк се должи на фактот дека по изглед е сосема слично со буквата од грчката азбука - "делта".
• Антипараллелограм - оваа бројка е исто толку сложена како и нејзиното име. Во него, двете спротивни страни се еднакви, но тие не се паралелни еден со друг. Покрај тоа, долгите спротивни страни на овој четириаголник се пресекуваат, како и продолжувањата на другите две пократки страни.

Видови на паралелограм

Откако се занимаваа со главните типови на четириаголници, вреди да се обрне внимание на неговите подвидови. Така, сите паралелограми, пак, се поделени во четири групи.

• Класичен паралелограм.
• Ромб (ромб) е квадрангуларна фигура со еднакви страни. Неговите дијагонали се сечат под прав агол, делејќи го дијамантот во четири еднакви правоаголни триаголници.
• Правоаголник. Името зборува за себе. Бидејќи тоа е четириаголник со прави агли (секој од нив е еднаков на деведесет степени). Наспроти страните од него не се само паралелни едни на други, туку и еднакви.
• Плоштад (квадрат). Како правоаголник, тоа е четириаголник со прави агли, но сите страни се еднакви една со друга. Оваа бројка е близу до ромб. Значи може да се тврди дека квадрат е крст помеѓу дијамант и правоаголник.

Специјални својства на правоаголникот

Со оглед на бројките во кои секој од аглите меѓу двете страни е еднаков на деведесет степени, вреди да се погледне поблиску во правоаголникот. Значи, кои особини има тој што го разликува од другите паралелограми?

За да се тврди дека предметниот паралелограм е правоаголник, неговите дијагонали мора да бидат еднакви една со друга, и секој од аглите е исправен. Покрај тоа, квадратот на неговите дијагонали мора да одговара на збирот на плоштадите на двете соседни страни од оваа слика. Со други зборови, класичниот правоаголник се состои од два правоаголни триаголници, а во нив, како што е познато, збирот на квадратите на нозете е еднаков на квадратот на хипотенузата. Во улога на хипотенузата, се појавува дијагонала на квадрилатералот во прашање.

Последната од наведените карактеристики на оваа бројка е нејзиниот посебен имот. Покрај тоа, постојат и други. На пример, фактот дека сите страни на четириаголникот со директни агли е во исто време височините.

Дополнително, ако нацрташ круг околу секој правоаголник, неговиот дијаметар ќе биде еднаков на дијагоналата на впишаната слика.

Меѓу другите особини на овој четириаголник, фактот дека е рамни и не-евклидовата геометрија не постои. Ова се должи на фактот дека во овој систем нема квадрангуларни фигури чија сума на агли е триста и шеесет степени.

Плоштад и неговите карактеристики

Откако се занимаваа со карактеристиките и својствата на правоаголникот, вреди да се обрне внимание на вториот познат четириаголник со прави агли (ова е квадрат).

Всушност, истиот правоаголник, но со еднакви страни, оваа бројка ги има сите својства. Но, за разлика од него, квадратот е присутен во неевклидовата геометрија.

Покрај тоа, оваа бројка, постојат и други сопствени посебни карактеристики. На пример, фактот што дијагоналите на квадрат не се едноставно еднакви една со друга, но исто така и се сечат под прав агол. Така, како дијамант, плоштадот се состои од четири правоаголни триаголници, во кои е поделен со дијагонали.

Покрај тоа, оваа бројка е најсимметрична кај сите четириаголници.

Која е збирот на аглите на четириаголник

Со оглед на особеностите на квадрилатералите на евклидовата геометрија, вреди да се обрне внимание на нивните агли.

Значи, во секоја од горенаведените бројки, без разлика дали има прав агол или не, нивната вкупна сума секогаш е иста - триста и шеесет степени. Ова е уникатна карактеристика на овој вид фигура.

Периметар на четириаголници

Откако се занимаваа со она што е збир на аглите на четириаголник и други посебни својства на фигури од овој вид, вреди да се открие кои формули најдобро се користат за пресметување на нивниот периметар и област.

За да го одредите периметарот на секој четириаголник, треба да ја додадете должината на сите страни.

На пример, на сликата KLMN неговата периметар може да се пресмета со формулата: P = KL + LM + MN + KN. Ако ги замениме броевите тука, добиваме: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Во случај кога предметната бројка е ромб или квадрат, за да го пронајдете периметарот, можете да ја поедноставите формулата со едноставно множење на должината на една од неговите страни со четири: P = KL x 4. На пример: 6 x 4 = 24 (cm).

Квадратни четириаголни формули

Откако се занимаваа со тоа како да го пронајдете периметарот на секоја фигура со четири агли и страни, вреди да се земат предвид најпопуларните и наједноставните начини за наоѓање на нејзината област.

• Класичниот начин на пресметување е да се користи формулата S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Излегува дека површината на секој четириаголник е еднаква на половина од производот на неговите дијагонали од синус на аголот кој се наоѓа меѓу нив.
• Ако фигурата чија област сакате да ја најдете е правоаголник или квадрат (дијагонали секогаш се еднакви една со друга), можете да ја поедноставите формулата со квадрирање на должината на една дијагонала и нејзино множење со синус на аголот помеѓу нив и делење на сè на половина. На пример: S = 1/2 КМ ² x SIN LON.
• Исто така, при наоѓање на површина на правоаголник, може да им помогне на информациите за периметарот на бројката и должината на една од нејзините страни. Во овој случај, најлесно е да се користи формулата S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• Во случај на плоштад, неговите својства ни дозволуваат да користиме неколку дополнителни формули за да ја пронајдеме областа. На пример, знаејќи го периметарот на фигурата, можете да ја користите оваа опција: S = P ² / 16. И ако е познат радиусот на кругот впишан во четириаголник, квадратот на плоштадот е на многу сличен начин: S = 4r ² . Ако радиусот на ограничениот круг е познат, тогаш е соодветна друга формула: S = 2R ² . Исто така, површината на квадратот е 0,8 пати поголема од должината на линијата навлечена од аголот на сликата до средината на спротивната страна.
• Во прилог на сите погоре, исто така постои посебна формула за наоѓање на област, пресметана специјално за паралелограм. Може да се користи, ако е познато, должината на две висини на сликата и големината на аголот меѓу нив. Тогаш височините мора да се помножат меѓу себе и синусот на аголот меѓу нив. Вреди да се напомене дека можете да ја користите оваа формула за сите фигури кои се однесуваат на паралелограми (што е, на правоаголник, ромб и квадрат).

Други својства на четириаголници се испишани и ограничени кругови

Имајќи ги предвид карактеристиките и особините на четирите како фигура на евклидовата геометрија, вреди да се обрне внимание на можноста за опишување околу или за впишување кругови во неа:

• Ако сумите на спротивните агли на фигурата се сто осумдесетина степени и се попарно еднакви, тогаш околу овој четириаголник може слободно да се опише круг.
• Според теорема на Птоломеј, ако кругот е опишан надвор од полигонот со четири страни, тогаш производот од неговите дијагонали е еднаков на збирот на производите на спротивните страни на оваа слика. Така, формулата ќе изгледа вака: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Ако конструираме квадрилатерал во кој сумите на спротивните страни се еднакви една со друга, тогаш кругот може да биде впишан во него.

Откако се занимаваа со тоа што е квадрилатерал, какви видови постојат, кои од нив имаат само директни агли меѓу страните и кои својства ги поседуваат, вреди да се запамети целиот овој материјал. Особено, формули за наоѓање на периметарот и површина на полигоните испитани. Впрочем, фигури на оваа форма - еден од најчестите, и ова знаење може да биде корисно за пресметки во реалниот живот.