На систем од линеарни алгебарски равенки. Хомогена систем од линеарни алгебарски равенки

На училиште, секој од нас се изучува на равенката и, секако, системот на равенки. Но, не многу луѓе знаат дека постојат неколку начини да ги реши. Денес ние ќе се види точно сите методи за решавање на систем од линеарни алгебарски равенки, кои се составени од повеќе од две равенки.

приказна

Денес знаеме дека уметноста на решавање на равенки и нивните системи потекнува од древниот Вавилон и Египет. Сепак, еднаквост во познати нивната форма се чини дека ни по појавата на знак за еднаквост "=", која беше воведена во 1556 од страна на англискиот математичар рекорд. Патем, овој симбол беше избран за причина: тоа значи две паралелни еднакви сегменти. Всушност, најдобар пример за еднаквост не излезе.

Основачот на модерна натписи и симболи на непознат степен, францускиот математичар Fransua Виетнам. Сепак, неговата ознака е значително различен од денес. На пример, на плоштадот на непознат број тој назначени од страна на буквата Q (лат "quadratus".), И коцка - (. Лат "cubus") буквата С. Овие симболи сега изгледа непријатно, но тогаш тоа беше најстариот интуитивен начин да се напише на систем од линеарни алгебарски равенки.

Сепак, голем недостаток во постоечките методи на решение беше дека математичари сметаат само позитивните корени. Можеби ова се должи на фактот дека негативните вредности немаат практична примена. На еден или друг начин, но прво да се смета за негативен корени почна откако италијанската математика Николо Тартаља, Gerolamo Cardano и Рафаел Bombelli во 16-тиот век. Модерниот изглед, главниот метод на решавање на квадратни равенки (преку дискриминантна) беше основана во 17 век преку делата на Декарт и Њутн.

Во средината на швајцарскиот математичар од 18 век Габриел Крамер најде нов начин да се направи за решавање на системи линеарни равенки полесно. Овој метод подоцна беше именуван по него, и до ден денес ние го користиме. Но, за начинот на разговор Крамер малку подоцна, но сега за сега ние ќе разговараат за линеарни равенки и нивните решенија одделно од системот.

линеарни равенки

Линеарни равенки - наједноставниот равенка со променлива (а). Тие припаѓаат на алгебарски. Линеарни равенки напишани во општата форма како што следува: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... и _n * x _n = b. Поднесување на оваа форма, ќе треба во подготовката на системи и матрици на.

На систем од линеарни алгебарски равенки

Дефиницијата на овој термин е: збир на равенки, кои имаат заеднички непознати и општото решение. Обично, на училиште сите решени систем со две или дури три равенки. Но, постојат системи со четири или повеќе компоненти. Ајде да видиме прво како да ги запишам, така што подоцна тоа е погодно да се реши. Прво, системот на линеарни алгебарски равенки ќе изгледа подобро ако сите променливи се напишани како x со соодветните индекс: 1,2,3 и така натаму. Второ, треба да доведе сите равенки на канонската форма: * ₁ x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... и _n * x _n = b.

По сите овие чекори, ние може да почнат да ви кажам како да се најде решение на системи линеарни равенки. Многу за тоа ќе дојде во рака матрица.

матрица

Матрица - табела во која се состои од редови и колони, и нејзините елементи се дадени на раскрсница. Ова може да биде или специфична вредност или променлива. Во повеќето случаи, за да се одреди елементи кои се наредени под индексите (на пример, ₁₁ или ₂₃ и). Првиот индекс покажува бројот на ред, а вториот - на колоната. Над матрици како погоре и сите други математички елемент може да врши разни операции. Така, вие можете:

1) Одземете и додадете иста големина на табелата.

2) Умножете на матрицата за да било кој број или вектор.

3) Транспонирање: трансформирање на матрица линии во колони, и колони - во линија.

4) Умножете матрица, ако бројот на редови е еднаков на еден од нив различен број на колони.

Да разговараат во детали сите овие техники, како тие се корисни за нас во иднина. Одземање и додавање на матрици е многу едноставна. Бидејќи ние се со иста големина матрица, секој елемент на една маса е поврзан со секој друг елемент. Така можеме да се додаде (одземе) два од овие елементи (важно е дека тие се стои на истиот терен во нивните матрици). Кога се множи со бројот на матрица или вектор едноставно множи секој елемент на матрицата со тој број (или вектор). Транспозиција - еден многу интересен процес. Многу интересна понекогаш да го види во реалниот живот, на пример, кога се менува ориентацијата на таблета или телефон. На иконите на работната површина е матрица, и со промена на позицијата, се транспонирани и станува пошироко, но се намалува во височина.

Дозволете ни да се испита повеќе процес како матрица множење. Иако тој ни кажа, и не е корисно, но се свесни дека се уште е корисно. Множете се две матрици може да биде само под услов бројот на колони во една табела е еднаков на бројот на редови други. Момент се земе една матрица линија елементи и други елементи на соодветната колона. се размножуваат нив едни со други, а потоа збирот (т.е., на пример, производ на елементи ₁₁ и ₁₂ и во _12-б и ₂₂ Б ќе биде еднаков на: a * b _{11 12} + ₁₂ * b и _22). Така, една точка на маса, и метод сличен на тоа е исполнет понатаму.

Сега ние може да почнат да се разгледа како да се реши системи линеарни равенки.

Гаус

Оваа тема почна да се одржи на училиште. Ние многу добро знаете на концептот на "систем од две линеарни равенки" и знае како да ги реши. Но, што ако бројот на равенки е поголема од два? Ова ќе ни помогне метод Гаус.

Се разбира, овој метод е лесен за употреба, ако се направи една матрица на системот. Но, не можете да го претворите и да одлучи на своја сопствена.

Значи, како да се реши од страна на систем од линеарни равенки Гаусов? Патем, иако овој метод и е именувана по него, но тоа откриени во античките времиња. Гаус има операција врши со равенката, за да на крајот резултира со целокупноста на ешалон форма. Тоа е, ќе треба да се нагоре-надолу (доколку правилно се постави) од првата до последната равенка исчезнал еден непознат. Со други зборови, ние треба да бидете сигурни дека ние го добивме, да речеме, три равенки: првиот - три непознати, во вториот - две во третата - една. Потоа, од последните равенката, се најде на првото непознат, да ја замени својата вредност во вториот или првата равенка, и понатаму се најдат преостанатите две променливи.

правило е Крамер

За развојот на оваа техника е од витално значење да ги совладаат вештините на собирање, одземање на матрици, како и потребата да се биде во можност да се најде детерминанти. Затоа, ако се чувствуваат непријатно прават тоа сите или не знаат како тоа, потребно е да се научат и да бидат обучени.

Која е суштината на овој метод, и како да го стори тоа, за да се добие на систем од линеарни равенки Крамер? Тоа е многу едноставна. Ние треба да се изгради една матрица на броеви (речиси секогаш) на коефициентите на систем од линеарни алгебарски равенки. Да го направите ова, едноставно се бројот на непознати, а ние организираме маса во цел дека тие се евидентирани во системот. Ако пред бројот е знакот "-", тогаш ние пишуваме негативен коефициент. Значи, ние го направи првиот матрица на коефициентите на непознати, не вклучувајќи го и бројот после знакот за еднакво (се разбира, дека равенката треба да се сведе на канонична форма кога правото е само еден број, а левата - сите непознати со коефициенти). Тогаш ќе треба да се направат неколку матрици - по еден за секоја променлива. За таа цел, во првата матрица се заменува со една колона на секоја колона броеви со коефициентите после знакот за еднакво. Така можеме да се добие неколку матрици и потоа го најдат своето детерминанти.

По што се најде на квалификациите, тоа е мала. Имаме почетна матрица, и постојат неколку добиени матриците кои одговараат на различни променливи. За да се добие решение систем, треба да се поделат детерминанта на добиената маса на примарна детерминанта на табелата. На резултат на број е вредноста на една променлива. Слично на тоа, ние ги најдете сите непознати.

други методи

Постојат неколку методи, со цел да се добие решение на системи линеарни равенки. На пример, еден таканаречен метод Гаус-Јордан, кој се користи за изнаоѓање на решенија на системот на квадратни равенки, а исто така се однесува на употребата на матрици. Исто така постои и Jacobi метод за решавање на систем од линеарни алгебарски равенки. Тој лесно се приспособува на сите компјутери и се користи во компјутерите.

сложени случаи

Комплексноста најчесто се случува доколку бројот на равенки е помал од бројот на променливи. Тогаш ние сигурно може да се каже дека, или системот не е во согласност (односно, нема корени), или бројот на нејзините одлуки се стреми кон бесконечност. Ако имаме вториот случај - тоа е потребно да се напише во општото решение на систем од линеарни равенки. Тоа ќе вклучува најмалку една променлива.

заклучок

Тука доаѓаме до крај. Да резимираме: ние треба да се разбере она што матрица систем, научив да се најде во општото решение на систем од линеарни равенки. Во продолжение се смета и други опции. Ние сфатиле како да се решаваат системи на линеарни равенки: Гаусова елиминација и владеењето Крамер е. Ние разговаравме за тешки случаи и други начини за наоѓање на решенија.

Всушност, ова прашање е многу богат, и ако сакате да го разбереме подобро, ние ве советуваме да прочитате повеќе на стручна литература.