Maclaurin и распаѓање на некои функции

Студирањето во напредна математика треба да бидат свесни дека збирот на серија моќ во интервал од конвергенција на голем број од нас, е континуиран и неограничен број на пати диференцирани функција. Се поставува прашањето: што е можно да се тврди дека со оглед на произволна функција f (x) - е збир на серија моќ? Тоа е, под кои услови f f-ните (x) може да се претстави со серија на власт? Важноста на ова прашање е дека тоа е можно да се замени околу £ Богословскиот f (x) е збир на првите неколку однос на серија моќ, тоа е полином. Таква функција замена е прилично едноставна изразување - полином - е удобен и во решавањето на одредени проблеми во математичката анализа, односно во решавање на интеграли, при пресметката на диференцијални равенки , итн ...

Тоа е докажано, дека за некои f-ii f (x), назначена со тоа, деривати на (n + 1) -th цел може да се пресмета, вклучувајќи ги и најновите во близина на (α - R; x ₀ + R) на точката x = α фер формула е:

Оваа формула е именуван по познатиот научник Брук Тејлор. А бројот на кој е изведен од претходниот, се нарекува серија Maclaurin:

А правилото што го прави можно да се произведе експанзија во серија Maclaurin:

1. Одредување изводи од прв, втор, трет, ... ред.
2. Се пресмета што се деривати во X = 0.
3. Рекорд Maclaurin серија за оваа функција, а потоа да се утврди на интервалот на конвергенција.
4. Одредување интервал (-R; R), каде остаток дел од формулата Maclaurin

R _n (x) -> 0 за n -> бесконечност. Ако еден постои, тоа функцијата f (x) мора да биде еднаков на збирот на серијата Maclaurin.

Размислете сега серијата Maclaurin за одделни функции.

1. Така, првиот да биде F (x) = e ^x. Се разбира, дека нивните карактеристики f-Ia е изведен на различни наредби, и f ^{(и) (x)} = e ^x, каде што k е еднакво на сите природни броеви. Заменик-x = 0. Добиеме f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Врз основа на горенаведеното, голем број на e ^x Тоа ќе биде како што следува:

2. Maclaurin серија за функцијата f (x) = sin x. Веднаш да се каже дека f-ните за сите непознати деривати имаат, покрај f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = x -sin = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), каде што k е еднаков на секој позитивен цел број. Тоа е, правење на едноставни пресметки, можеме да заклучиме дека серијата за f (x) = sin x ќе биде вака:

3. Сега ајде да се разгледа iju f-f (x) = cos x. Не е познато за сите деривати на произволен редослед, и ^{| f (и) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Повторно, тоа ја направи некои пресметки, ќе најдеме дека серијата за f (x) = cos x ќе изгледа вака:

Значи, ние се наведени најважните функции, кои може да се прошири во серија Maclaurin, но тие се надополнуваат Тејлоровиот ред за некои функции. Сега ние ќе ги листа, како и. Исто така, треба да се напомене дека Тејлор серија и серија Maclaurin се важен дел од серијата работилница на одлуки во виша математика. Значи, Тејлор серија.

1. Првата е серија од F-ii f (x) = ln (1 + x). Како и во претходните примери, за ова ние f (x) = ln (1 + x) може да се здипли голем број, со користење на општата форма на Maclaurin серија. но за оваа функција Maclaurin може да се добие многу полесно. Интегрирањето на геометриски серии, ние се добие голем број за f (x) = ln (1 + x) од мострата:

2. И второ, што ќе биде финалето во овој член, ќе биде серија за f (x) = x arctg. За X припаѓаат на интервалот [-1, 1] е валидна разградување:

Тоа е се. Во овој напис ќе се испитани од најкористените Тејлор серија и Maclaurin серија во виша математика, особено во економските и техничките колеџи.